Rijen met de TI-83/84 (2024)

Met de TI-83/84 kun je op diverse manieren rijen in beeld brengen. Verder kun je daarbij ook gemakkelijk somrijen en verschilrijen maken. Je kunt tijdgrafieken en webgrafieken tekenen.
Loop eerst het practicum: 'Basistechnieken TI-83/84' door.

Inhoud

• Rijen met directe formules
  • Invoeren als functie
  • Invoeren als lijst
  • Invoeren in de Seq-mode
• Recursief gegeven rijen
• Tijdgrafieken en webgrafieken
• Stelsels rijen en fasegrafieken

Rijen met directe formules

Rijen met directe formules kunnen op drie manieren worden ingevoerd. Ga uit van de rij met voorschrift:

u_n=800·(1,05)^n–1

te beginnen met n = 1.

Je kunt de rij als een gewone functie opvatten met als domein alleen de getallen (0), 1, 2, 3, 4, ...

• Voer het functievoorschrift in: Y1=800*(1.05)^(X-1)
• Stel de TABLE-routine zo in, dat de tabel start bij X=0 of X=1 en dat de stapgrootte 1 is (gebruik TBLSET)
• Bij TABLE, dus [2nd] [GRAPH] vind je nu de termen van de rij
• Bij GRAPH vind je de grafiek van deze rij, helaas als doorgetrokken grafiek

Je kunt eenvoudig de bijbehorende verschilrij in beeld brengen via: Y2=Y1(X+1)-Y1(X).
Je vindt Y1 door te toetsen [VARS] en te kiezen Y-VARS en 1: Function [ENTER] 1: Y1 [ENTER].

Je kunt de bijbehorende somrij maken via: Y3=sum(seq(Y1,X,0,X)).
Je vindt hierin:

• sum door te toetsen [2nd][STAT] en te kiezen: MATH 5: sum( [ENTER]
• seq door te toetsen [2nd][STAT] en te kiezen: OPS 5: seq( [ENTER]
• de komma als een afzonderlijke toets [ , ]

Je kunt de rij als een lijst met getallen opvatten. Je kunt hem dan invoeren in de lijsten L1, L2, enz.Dat gaat zo:

• Toets [STAT] en kies 1: Edit... Je ziet nu een aantal lijsten L1, L2, enz.
• Voer in L1 de nummers van de termen (hier bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 4, ..., 20) in door de cursor op L1 te zetten en [ENTER] te toetsen. Onderaan zie je nu L1= met daarachter de cursor.
• Ga naar [2nd][STAT] en kies OPS 5: seq [ENTER] (seq staat voor 'sequence', Engels voor 'rij'). Je ziet nu: L1=seq( met daarachter de cursor.
• Zet daar in: X [ , ] X [ , ] 1 [ , ] 20 [ ) ] en toets [ENTER].In L1 staan nu de getallen 1 t/m 20. Ga dat na door met de pijltjestoetsen door de lijst te lopen.
• Voer in L2 de termen zelf in door de cursor op L2 te zetten en [ENTER] te toetsen. Onderaan zie je nu L1= met daarachter de cursor.Ga naar [2nd][STAT] en kies OPS 5: seq [ENTER] (sequence = rij)Je ziet nu: L2=seq( met daarachter de cursor.Zet daar in: 800*(1.05)^(X-1) [ , ] X [ , ] 1 [ , ] 20 [ ) ] en toets [ENTER]. In L2 komen nu de termen van de rij.

De bijbehorende verschilrij kan nu in L3 door: L3=DList(L1) in te voeren onder L3.Je vindt hierin:

• DList( door te toetsen [2nd][STAT] en te kiezen: OPS 7: DList( [ENTER]
• L1 door te toetsen [2nd][ 1 ]

De bijbehorende somrij kan nu in L4 door: L4=c*msum(L1) in te voeren onder L4.Je vindt hierin: c*msum( door te toetsen [2nd][STAT] en te kiezen: OPS 6: c*msum( [ENTER].

Je kunt tenslotte de rij invoeren in de Seq-mode (sequence = rij).Je toetst daartoe [MODE] en kiest Seq (dat staat achteraan op de vierde rij) en dan [ENTER].Als je nu [ Y= ] toetst, dan zie je het venster linksonder.

Achter u(n) voer je vervolgens het voorschrift van de rij in:
u(n)=800*(1.05)^(n-1)
De n vind je op dezelfde toets als de variabele X bij functies.Achter u(nMin) voer je de term in die hoort bij de laagste waarde van n, dus 800. Je ziet dan het venster rechtsboven.

Je kunt nu op de 'gewone' manier gebruik maken van GRAPH, TABLE, TBLSET, WINDOW en TRACE. Loop die toetsen nog even na om te kijken wat er in de Seq-mode mee gebeurt.Let wel op, dat je even bij FORMAT kijkt of bij daar wel Time is ingesteld, want anders krijg je een heel ander soort grafiek dan je gewend bent (daarover later meer).

Maak een grafiek van de rij waarbij n loopt van 1 t/m 20.
Oefen het werken met rijen gegeven door een directe formule.

Recursief gegeven rijen

Als je een rij die gegeven is door een recursieformule wilt invoeren, moet je de TI83 eerst laten werken in de Seq-mode (sequence = rij). Je toetst daartoe [MODE] en je loopt met de cursor naar Seq en toetst [ENTER].

Bekijk nog eens de rij met direct voorschrift:

u_n=800·(1,05)^n–1

In recursieve vorm ziet diezelfde rij er zo uit:

In de Seq-mode is de rij ook als recursieformule in te voeren.Lastig is wel, dat de TI83 het rij-scherm begint met
u(n)=, in plaats van u(n+1)=.
Je moet daarom eerst het recursievoorschrift aanpassen tot:

Daarna kun je hem echter eenvoudig invoeren op dezelfde manier als beschreven in de rij invoeren in de Seq-mode.
De u vind je als [2nd] [ 7 ].

Ook nu kun je op de 'gewone' manier gebruik maken van GRAPH, TABLE, TBLSET, WINDOW en TRACE. Loop die toetsen nog even na om te kijken wat er in de Seq-mode mee gebeurt.Let wel op, dat je even bij FORMAT kijkt of bij daar wel Time is ingesteld, want anders krijg je een heel ander soort grafiek dan je gewend bent (daarover later meer).

Maak een grafiek van de rij waarbij n loopt van 1 t/m 20.Oefen het werken met rijen gegeven door een recursieformule.Hier zie je hoe de rij van Fibonacci kan worden ingevoerd.

Tijdgrafiek en webgrafiek

Je kunt bij rijen twee soorten grafieken maken:

• 'gewone' grafieken of tijdgrafieken
• webgrafieken

De bijbehorende instelling Time of Web vind je onder FORMAT als de rekenmachine in de Seq-mode staat.

Gebruik weer dezelfde rij als in de rest van het practicum met directe formule:

u_n=800·(1,05)^n–1

en recursieformule:

De tijdgrafiek verschijnt netjes in beeld als de formule is ingevoerd en de juiste scherminstellingen (n loopt van 1 t/m 20 en u(n) loopt van ongeveer 0 tot 2000) en tabelinstellingen zijn gekozen. Je ziet dan:

De webgrafiek verschijnt in stappen in beeld.

• Eerst kies je bij FORMAT de instelling Web.
• Vervolgens pas je het venster zo aan, dat zowel in de x-richting als in de y-richting rijtermen (lopend van 800 naar 10000 en nog groter) op het scherm passen.
• Met [GRAPH] zie je twee lijnen in beeld komen. Eén daarvan is de lijn y = x. De ander wordt bepaald door de rij (de bijbehorende theorie vind je in je wiskundeboek).
• Je toetst [TRACE] en met de pijltjestoetsen vind je nu telkens twee opeenvolgende termen van de rij, te weten x = u(n - 1) en y = u(n).In de grafiek zie je (hoewel dat in dit voorbeeld niet erg duidelijk is in het begin) de cursor springen van de lijn y = x naar de lijn die door de rij wordt bepaald en weer terug, en zo maar steeds door.

Nu zie je:

Stelsels rijen en fasegrafieken

Er onstaan stelsels rijen als je bijvoorbeeld te maken hebt met een migratiematrix, met de prooi-roofdier-cyclus, of bepaalde economische modellen. Een voorbeeld van zo'n stelsel is (de bijpassende migratiegraaf staat er naast):

u(n)=0,8·u(n–1)+0,4·v(n–1)
v(n)=0,2·u(n–1)+0,6·v(n–1)
met
u(0) = 80 en v(0) = 20.

Na instellen van de Seq-mode ziet kun je dit stelsel in het Y= venster invoeren, het venster instellen (denk er om dat in de y-richting de waarden van de rijen komen, dus je kunt beter eerst de tabel bekijken) en de bijpassende tijdgrafieken maken.

Juist bij stelsels rijen is het vaak nuttig om een zogenaamde fasegrafiek te maken, waarin de rij u(n) op de horizontale as en de rij v(n) op de verticale as is uitgezet.
Je kiest dan via [ 2nd ][ZOOM] voor het 'FORMAT'-menu. Daarin kun je naast 'Time' en 'Web' ook kiezen voor 'uv'.
Je krijgt dan zo'n fasegrafiek. Hier wordt hij niet erg spectaculair, want er ontstaat als snel een stabiele situatie; ga zelf maar na.

Veel leuker is het om dit te doen bij een geschikt prooi-roofdier-model...

Math4all